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%第八周习题

% 7.1. 线性变换的定义
% 7.2. 线性变换的运算
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%摘要 Week H Teaching Goal 
\newcommand{\HABSA}{线性变换的定义}
\newcommand{\HABSAa}{理解线性变换的概念。}
\newcommand{\HABSAb}{理解单位变换、零变换、数乘变换的含义。}
\newcommand{\HABSAc}{理解线性变换的一些其它例子。}

\newcommand{\HABSB}{线性变换的运算}
\newcommand{\HABSBa}{理解将线性变换代入多项式的运算。}
\newcommand{\HABSBb}{理解可逆线性变换的逆变换的概念。}

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%\item % 1
\newcommand{\HTA}{
什么是线性空间 $V$ 上的一个变换？
什么是线性空间 $V$ 上的一个线性变换？
%$\mathcal{A}:V\to V$ 什么时候称为是线性变换？
}

%\item % 1a.  
\newcommand{\HTAsol}{
{\color{red}解答：集合到自身的映射称为变换。线性变换：保持加法与数乘运算。  
}
}


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%\item % 2
\newcommand{\HTB}{
平面上从原点出发的向量全体，绕原点逆时针旋转 $\theta$ 角度。说明这可以看作是一个线性变换。
}

%\item % 2a.  
\newcommand{\HTBsol}{
{\color{red}解答：验证这个变换保持加法与数乘运算，
\begin{eqnarray*}
\sigma:\mathbb{R}^2 &\to& \mathbb{R}^2 \\ 
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &\mapsto& 
\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}. \\ 
\end{eqnarray*}

  
}
}


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%\item % 3
\newcommand{\HTC}{
设 $\alpha$ 是立体空间中的一个固定向量。将每个向量变到它在 $\alpha$ 上的投影。
说明这是一个线性变换。
}

%\item % 3a.  
\newcommand{\HTCsol}{
{\color{red}解答：验证这个变换保持加法与数乘运算，
\[
\Pi_\alpha(\zeta) = \frac{(\alpha,\zeta)}{(\alpha,\alpha)}\alpha. 
\]  
}
}


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%\item % 4
\newcommand{\HTD}{
解释线性空间到自身的恒等变换、零变换与数量变换。
}

%\item % 4a.  
\newcommand{\HTDsol}{
{\color{red}解答：  验证这些变换保持加法与数乘运算，
\begin{eqnarray*}
&& \mathcal{E}: V\to V, \mathcal{E}(\alpha)=\alpha \\
&& \mathcal{K}: V\to V, \mathcal{K}(\alpha)=k\alpha  \\
\end{eqnarray*}
}
}


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%\item % 5
\newcommand{\HTE}{
多项式全体组成的线性空间，说明求微商运算是一个线性变换。
}

%\item % 5a.  
\newcommand{\HTEsol}{
{\color{red}解答：  验证这个变换保持加法与数乘运算，
\begin{eqnarray*}
\mathcal{D}: \mathbb{R}[x] &\to& \mathbb{R}[x] \\
f(x) &\mapsto& f\,'(x) \\ 
\end{eqnarray*}
}
}


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%\item % 6
\newcommand{\HTF}{
闭区间上的连续函数全体组成一个线性空间，将积分运算看作这个线性空间到自身的一个线性变换。
}

%\item % 6a.  
\newcommand{\HTFsol}{
{\color{red}解答：  验证这个变换保持加法与数乘运算，
\begin{eqnarray*}
\mathcal{I}: C[a,b] &\to& C[a,b] \\
f(x) &\mapsto& \int_a^xf(t)dt \\ 
\end{eqnarray*}
}
}


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%\item % 7
\newcommand{\HTG}{
设 $\mathcal{A}:V\to V$ 是一个线性变换。则 $\mathcal{A}(\theta)=\theta$, 
$\mathcal{A}(-\alpha)=-\mathcal{A}(\alpha)$. 这里记 $\theta$ 是零向量。
}

%\item % 7a.  
\newcommand{\HTGsol}{
{\color{red}解答： 根据线性变换保持加法与数乘运算可证。
}
}


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%\item % 8
\newcommand{\HTH}{
线性变换将线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
举例说明线性变换可能将线性无关的向量组变成线性相关的向量组。
}

%\item % 8a.  
\newcommand{\HTHsol}{
{\color{red}解答：  线性相关的向量组的定义。线性变换的定义。
}
}

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%\item % 9. E7.1.
\newcommand{\HTI}{
判断下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：

  1) 在线性空间 \( V \) 中，\( \mathcal{A} \xi = \alpha \)，其中 \( \alpha \in V \) 是一固定的向量；

  2) 在线性空间 \( V \) 中，\( \mathcal{A} \xi = \xi + \alpha \)，其中 \( \alpha \in V \) 是一固定的向量；

  3) 在 \( \mathbb{R}^3 \) 中，\( \mathcal{A}(x_1, x_2, x_3) = (x_1^2, x_2^2, x_3^2) \); 

  4) 在 \( \mathbb{R}^3 \) 中，\( \mathcal{A}(x_1, x_2, x_3) = (2x_1 - x_2, x_2 + x_3, x_1) \). 

%  5) 在 \( \mathbb{R}[x] \) 中，\( \mathcal{A}f(x) = f(x+1) \)；

%  6) 在 \( \mathbb{R}[x] \) 中，\( \mathcal{A}f(x) = f(x_0) \)，其中 \( x_0 \in \mathbb{R} \) 是一固定的数；

%  7) 把复数域看作复数域上的线性空间，\( \mathcal{A} \xi = \overline{\xi} \)；

%  8) 在 \( \mathbb{R}^{n \times n} \) 中，\( \mathcal{A}(X) = BXC \)，其中 \( B,C \in \mathbb{R}^{n \times n} \) 是两个固定的矩阵。

}

%\item % 9.a. E7.1.a.  
\newcommand{\HTIsol}{
{\color{red}解答： 验证这些变换是否保持加法与数乘运算。
% 1)  2)：当 $\alpha$ 为零向量时，是；3)不是；4)是。 
}
}


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%\item % 10
\newcommand{\HTJ}{
两个线性变换的乘积是怎么定义的？
两个线性变换的和是怎么定义的？
一个线性变换的数量乘法是怎么定义的？
}

%\item % 10a.  
\newcommand{\HTJsol}{
{\color{red}解答：  乘积定义为复合映射。
}
}


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%\item % 11
\newcommand{\HTK}{
什么时候称一个线性变换是可逆的？逆变换是怎么定义的？
}

%\item % 11a.  
\newcommand{\HTKsol}{
{\color{red}解答：  

设 $\mathcal{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换。

若存在线性空间 $V$ 上的另一个变换 $\mathcal{B}$ 使得 $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$, 则称线性变换 $\mathcal{A}$ 是可逆的。称 $\mathcal{B}$ 是  $\mathcal{A}$ 的逆变换。

可证此时 $\mathcal{B}$ 也是线性变换。
}
}


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%\item % 12
\newcommand{\HTL}{
什么是一个线性变换的多项式？
}

%\item % 12a.  
\newcommand{\HTLsol}{
{\color{red}解答：设 $\sigma: V\to V$ 是一个线性变换，

设 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$ 是一个多项式。  定义 
$$f(\mathcal{A})=a_0\mathcal{E}+a_1\mathcal{A}+\cdots +a_n\mathcal{A}^n$$ 
这也是 $V$ 上的一个线性变换。

}
}


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%\item % 13
\newcommand{\HTM}{
设 $\alpha$ 是立体空间中的一个固定向量。设 $x$ 是经过原点的垂直于 $\alpha$ 的平面。
设 $\Pi_\alpha$ 是将每个向量变到它在 $\alpha$ 所在直线 $L(\alpha)$ 的投影。
设 $\Pi_x$ 是把每个向量变到它在平面 $x$ 的射影。
设 $\mathcal{R}_x$ 是把每个向量变到它以平面 $x$ 为镜面的倒影。
证明 $\Pi_x=\mathcal{E}-\Pi_\alpha$ 以及 $\mathcal{R}_x=\mathcal{E}-2\Pi_\alpha$, 
其中 $\mathcal{E}$ 是恒等变换。
}

%\item % 13a.  
\newcommand{\HTMsol}{
{\color{red}解答：  画出示意图。
}
}


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%\item % 14
\newcommand{\HTN}{
在次数小于 $n$ 的多项式全体组成的线性空间中，设 $\mathcal{D}$ 是求微商运算。
设 $\mathcal{S}_a(f(x))=f(x+a)$ 是自变量的平移运算。证明 $\mathcal{S}_a$ 是 $\mathcal{D}$ 的一个多项式。提示：泰勒展开。
}

%\item % 14a.  
\newcommand{\HTNsol}{
{\color{red}解答：设 $n=3$. 则可设 $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$. 变换
\begin{eqnarray*}
\mathcal{S}_a: \mathbb{R}[x]_3 &\to& \mathbb{R}[x]_3 \\ 
f(x) &\mapsto& f(x+a) =f(x) + f\,'(x)a + \frac{f\,''(x)}{2}a^2
\end{eqnarray*}  
}
}


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%\item % 15. E7.2.
\newcommand{\HTO}{
在几何空间中，取正交坐标系 \( Oxyz \) 以 \( \mathcal{A} \) 表示将空间绕 \( Ox \) 轴由 \( Oy \) 向 \( Oz \) 方向旋转 \( 90^\circ \) 的变换，以 \( \mathcal{B} \) 表示绕 \( Oy \) 轴由 \( Oz \) 向 \( Ox \) 方向旋转 \( 90^\circ \) 的变换，以 \( \mathcal{C} \) 表示绕 \( Oz \) 轴由 \( Ox \) 向 \( Oy \) 方向旋转 \( 90^\circ \) 的变换。
\begin{enumerate}
\item  证明：
\(
\mathcal{A}^4 = \mathcal{B}^4 = \mathcal{C}^4 = \mathcal{E},
\mathcal{A} \mathcal{B} \neq \mathcal{B} \mathcal{A},
\,\,\textrm{但}\,\,
\mathcal{A}^2 \mathcal{B}^2 = \mathcal{B}^2 \mathcal{A}^2.
\)
\item  检验 \( (\mathcal{A} \mathcal{B})^2 = \mathcal{A}^2 \mathcal{B}^2 \) 是否成立。
\end{enumerate}
}

%\item % 15a. E7.2.a.  
\newcommand{\HTOsol}{
{\color{red}解答：取一个向量，例如 $e_1=(1,0,0)$, 计算 $(\mathcal{A} \mathcal{B})(e_1)$ 与 $(\mathcal{B} \mathcal{A}) (e_1)$. 
}
}


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%\item % 16. E7.3.
\newcommand{\HTP}{
在 \( \mathbb{R}[x] \) 中，\( \mathcal{A}f(x) = f\,'(x) \)，\( \mathcal{B}f(x) = xf(x) \)，证明：
\(
\mathcal{A} \mathcal{B} - \mathcal{B} \mathcal{A} = \mathcal{E}.
\)
}

%\item % 16a. E7.3.a.  
\newcommand{\HTPsol}{
{\color{red}解答：对任意 \( f(x)\in \mathbb{R}[x] \), 计算 \( (\mathcal{A} \mathcal{B} - \mathcal{B} \mathcal{A}) (f(x)) \). 
}
}


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%\item % 17. E7.4.
\newcommand{\HTQ}{
设 \( \mathcal{A} \)，\( \mathcal{B} \) 是线性变换，如果 \( \mathcal{A} \mathcal{B} - \mathcal{B} \mathcal{A} = \mathcal{E} \)，证明：
\(
\mathcal{A}^k \mathcal{B} - \mathcal{B} \mathcal{A}^k = k \mathcal{A}^{k-1}, \quad k > 1.
\)
}

%\item % 17a. E7.4.a.  
\newcommand{\HTQsol}{
{\color{red}解答：先验证 $k=2$ 时的情形。一般情况用归纳法。  
}
}


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%\item % 18. E7.5.
\newcommand{\HTR}{
证明：可逆变换是双射。
}

%\item % 18a. E7.5.a.  
\newcommand{\HTRsol}{
{\color{red}解答：可逆变换的定义。双射的定义。  
}
}


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%\item % 19. E7.6.
\newcommand{\HTS}{
设 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n \) 是线性空间 \( V \) 的一组基，\( \mathcal{A} \) 是 \( V \) 上的线性变换，证明：\( \mathcal{A} \) 可逆当且仅当 \( \mathcal{A} \varepsilon_1, \mathcal{A} \varepsilon_2, \cdots, \mathcal{A} \varepsilon_n \) 线性无关。
}

%\item % 19a. E7.6.a.  
\newcommand{\HTSsol}{
{\color{red}解答：若 \( \mathcal{A} \varepsilon_1, \mathcal{A} \varepsilon_2, \cdots, \mathcal{A} \varepsilon_n \) 线性无关，则 这也是 $V$ 的一组基。然后构造逆变换 $\mathcal{B}$. 
}
}


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%\item % 20. E7.10. 
\newcommand{\HTT}{
设 \(\mathcal{A}\) 是线性空间 \( V \) 上的线性变换，如果 \(\mathcal{A}^{k-1} \xi \neq 0\)，但 \(\mathcal{A}^k \xi = 0\)，求证 \(\xi, \mathcal{A} \xi, \cdots, \mathcal{A}^{k-1} \xi \,\,(k>0)\) 线性无关。
}

%\item % 20a. E7.10.a.  
\newcommand{\HTTsol}{
{\color{red}解答：验证线性无关的定义。  
}
}



